Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи нам необходимо найти высоту трапеции, так как основания уже известны. Обозначим основания трапеции как $a = 3$ и $b = 5$.

1) Проведём две высоты из вершин верхнего основания к нижнему основанию. Эти высоты отсекают от нижнего основания два равных прямоугольных треугольника (так как трапеция равнобедренная) и прямоугольник посередине.

2) Найдём длину отрезка на нижнем основании, который является катетом одного из таких треугольников. В равнобедренной трапеции этот отрезок равен полуразности оснований:
$x = \frac{b - a}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой $h$ и найденным отрезком $x = 1$. По условию угол при основании равен $45^\circ$.
Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а один угол прямой ($90^\circ$), то второй острый угол равен:
$180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны. Значит, высота трапеции $h$ равна длине отрезка $x$:
$h = x = 1$.

4) Теперь воспользуемся формулой площади трапеции:
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$.
Подставим известные значения:
$S = \frac{3 + 5}{2} \cdot 1 = \frac{8}{2} \cdot 1 = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ