Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и дуг окружности.

1) По условию $A B$ — диаметр окружности. Диаметр делит окружность на две равные дуги по $180^\circ$. Следовательно, градусная мера дуги $A N B$, на которую опирается диаметр, равна $180^\circ$.

2) Рассмотрим вписанный угол $N B A$. По условию $\angle N B A = 71^\circ$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга $A N$, на которую опирается этот угол, в два раза больше него:
$\cup A N = 2 \cdot \angle N B A = 2 \cdot 71^\circ = 142^\circ$.

3) Так как точка $N$ лежит на дуге $A N B$, мы можем найти градусную меру дуги $N B$. Для этого из полной дуги полуокружности $A N B$ вычтем дугу $A N$:
$\cup N B = \cup A N B - \cup A N = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$.

4) Нам необходимо найти угол $N M B$. Этот угол также является вписанным и опирается на дугу $N B$. По свойству вписанного угла:
$\angle N M B = \frac{1}{2} \cdot \cup N B$.

5) Подставим найденное значение дуги:
$\angle N M B = \frac{38^\circ}{2} = 19^\circ$.

Ответ: 19

Источник: ФИПИ