Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами квадратного корня и степеней. Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{\frac{1}{9} \cdot x^{4} y^{10}}$ при заданных значениях переменных.

Шаг 1. Упростим выражение под корнем.
Вспомним свойство корня из произведения: корень из произведения нескольких множителей равен произведению корней из этих множителей (если они неотрицательны).
$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot x^{4} y^{10}} = \sqrt{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{y^{10}}$

Шаг 2. Извлечём корни из каждого множителя.
1) $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$, так как $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$.
2) Чтобы извлечь корень из степени, нужно показатель степени разделить на 2: $\sqrt{x^{4}} = x^{4:2} = x^{2}$.
3) Аналогично для $y$: $\sqrt{y^{10}} = y^{10:2} = y^{5}$.
Таким образом, наше выражение принимает вид: $\frac{1}{3} \cdot x^{2} \cdot y^{5}$.

Шаг 3. Подставим числовые значения $x = 3$ и $y = 2$.
Подставляем значения в упрощённое выражение:
$\frac{1}{3} \cdot 3^{2} \cdot 2^{5}$

Шаг 4. Выполним вычисления.
1) Возведём числа в степени: $3^{2} = 9$, а $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
2) Перемножим полученные результаты: $\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 32$.
3) Сначала удобно умножить $\frac{1}{3}$ на $9$: $\frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.
4) Теперь умножим $3$ на $32$: $3 \cdot 32 = 96$.

Ответ: 96

Источник: ФИПИ