Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим трапецию с основаниями $a = 17$ и $b = 19$. Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, а $AC$ — её диагональ. Диагональ пересекает среднюю линию в некоторой точке $K$.

1) Средняя линия трапеции по определению параллельна основаниям и проходит через середины боковых сторон. Значит, точка $M$ — середина боковой стороны $AB$, а точка $N$ — середина боковой стороны $CD$.

2) Рассмотрим треугольник $ABC$, образованный нижним основанием $BC = 19$, боковой стороной $AB$ и диагональю $AC$. Отрезок $MK$ лежит на средней линии трапеции, поэтому он параллелен основанию $BC$. Так как $M$ — середина $AB$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) точка $K$ является серединой диагонали $AC$. Следовательно, $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$.

3) По свойству средней линии треугольника, она равна половине стороны, которой параллельна. Вычислим длину отрезка $MK$:
$MK = \frac{BC}{2} = \frac{19}{2} = 9,5$.

4) Теперь рассмотрим треугольник $ACD$, образованный верхним основанием $AD = 17$, боковой стороной $CD$ и диагональю $AC$. Отрезок $KN$ также является средней линией этого треугольника, так как $K$ — середина $AC$, а $N$ — середина $CD$. Вычислим его длину:
$KN = \frac{AD}{2} = \frac{17}{2} = 8,5$.

5) Сравним полученные отрезки: $9,5 > 8,5$. Таким образом, больший из отрезков равен $9,5$.

Ответ: 9,5

Источник: ФИПИ