Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и дуг окружности.

1) Рассмотрим треугольник $ANB$. По условию $AB$ — диаметр окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle ANB = 90^\circ$.

2) В прямоугольном треугольнике $ANB$ сумма острых углов равна $90^\circ$. Нам известен угол $\angle NBA = 41^\circ$. Найдём угол $\angle NAB$:
$\angle NAB = 90^\circ - \angle NBA = 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ$.

3) Угол $\angle NAB$ является вписанным и опирается на дугу $NB$. По свойству вписанного угла его величина равна половине дуги, на которую он опирается. Значит, градусная мера дуги $\cup NB = 2 \cdot \angle NAB = 2 \cdot 49^\circ = 98^\circ$.

4) Теперь рассмотрим искомый угол $\angle NMB$. Он также является вписанным и опирается на ту же самую дугу $NB$.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Следовательно, $\angle NMB = \angle NAB = 49^\circ$.

Ответ: 49

Источник: ФИПИ