Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим свойства окружности, вписанной в трапецию.

1. По определению, если окружность вписана в многоугольник, то она касается всех его сторон. В случае трапеции окружность касается верхнего и нижнего оснований, а также боковых сторон.

2. Основания трапеции параллельны друг другу. Проведём через центр окружности прямую, перпендикулярную основаниям. Эта прямая будет содержать два радиуса окружности: один радиус $r$, проведённый в точку касания с верхним основанием, и второй радиус $r$, проведённый в точку касания с нижним основанием.

3. Отрезок, соединяющий точки касания на параллельных основаниях и проходящий через центр окружности, является диаметром этой окружности. Длина этого отрезка в точности равна расстоянию между параллельными основаниями трапеции.

4. Расстояние между основаниями трапеции — это и есть её высота $h$. Таким образом, высота трапеции равна диаметру вписанной в неё окружности:
$h = 2 \cdot r$

5. Подставим известное значение радиуса $r = 42$ в формулу:
$h = 2 \cdot 42 = 84$

Ответ: 84

Источник: ФИПИ