Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала внимательно посмотрим на выражение под корнем: $a^{2} + 6ab + 9b^{2}$. Заметим, что оно представляет собой формулу квадрата суммы: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$.

2. Преобразуем наше подкоренное выражение, чтобы свернуть его по формуле:
$a^{2}$ — это квадрат первого числа $a$;
$9b^{2}$ — это квадрат второго числа $3b$, так как $(3b)^{2} = 9b^{2}$;
$6ab$ — это удвоенное произведение первого числа на второе: $2 \cdot a \cdot 3b = 6ab$.
Следовательно, $a^{2} + 6ab + 9b^{2} = (a + 3b)^{2}$.

3. Теперь наше исходное выражение принимает вид: $\sqrt{(a + 3b)^{2}}$.

4. Вспомним важное свойство корня: корень из квадрата числа равен модулю этого числа, то есть $\sqrt{x^{2}} = |x|$. Применим это свойство:
$\sqrt{(a + 3b)^{2}} = |a + 3b|$.

5. Подставим данные в условии значения $a = 5$ и $b = -4$ в полученное выражение с модулем:
$|5 + 3 \cdot (-4)| = |5 - 12| = |-7|$.

6. Так как модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, получаем:
$|-7| = 7$.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ