Задание 16

Окружность и круг · 230 заданий

Задание №16
№16
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8 √(3) . Найдите длину стороны этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16
Центр окружности, описанной около треугольника A B C , лежит на стороне A B . Найдите угол A B C , если угол B A C равен 30 ° . Ответ дайте в градусах…
Окружность и круг
Задание №16
№16
Сторона равностороннего треугольника равна 8 √(3) . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16
Четырёхугольник A B C D вписан в окружность. Угол A B C равен 92 ° , угол C A D равен 60 ° . Найдите угол A B D . Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16
Сторона равностороннего треугольника равна 20 √(3) . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Окружность и круг
Задание №16
№16
Угол A трапеции A B C D с основаниями A D и B C , вписанной в окружность, равен 59 ° . Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16
Сторона равностороннего треугольника равна 18 √(3) . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16
Сторона квадрата равна 8 √(2) . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16
Центр окружности, описанной около треугольника A B C , лежит на стороне A B . Найдите угол A B C , если угол B A C равен 44 ° . Ответ дайте в градусах…
Окружность и круг
Задание №16
№16
Сторона квадрата равна 32 √(2) . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16
Четырёхугольник A B C D вписан в окружность. Угол A B D равен 51 ° , угол C A D равен 42 ° . Найдите угол A B C . Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16
В треугольнике A B C угол C равен 120 ° , A B = 18 √(3) . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг

Задание №16 — Геометрия

Сторона равностороннего треугольника равна $18 \sqrt{3}$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

1. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника. Высота в таком треугольнике также является медианой и биссектрисой. Она вычисляется по формуле:
$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

2. Подставим известное значение стороны $a = 18 \sqrt{3}$ в формулу высоты:
$h = \frac{18 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ , получаем:
$h = \frac{18 \cdot 3}{2} = 9 \cdot 3 = 27$

3. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан (центроидом). По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении $2:1$ , считая от вершины. Это значит, что радиус вписанной окружности $r$ составляет одну третью часть высоты треугольника:
$r = \frac{1}{3} h$

4. Вычислим радиус:
$r = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9$

Альтернативный способ: Можно воспользоваться прямой формулой радиуса вписанной окружности для правильного треугольника:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
Подставим значение стороны:
$r = \frac{18\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2} = 9$

Ответ: 9

Источник: ФИПИ