Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

1. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника. Высота в таком треугольнике также является медианой и биссектрисой. Она вычисляется по формуле:
$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

2. Подставим известное значение стороны $a = 18 \sqrt{3}$ в формулу высоты:
$h = \frac{18 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, получаем:
$h = \frac{18 \cdot 3}{2} = 9 \cdot 3 = 27$

3. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан (центроидом). По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Это значит, что радиус вписанной окружности $r$ составляет одну третью часть высоты треугольника:
$r = \frac{1}{3} h$

4. Вычислим радиус:
$r = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9$

Альтернативный способ: Можно воспользоваться прямой формулой радиуса вписанной окружности для правильного треугольника:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
Подставим значение стороны:
$r = \frac{18\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2} = 9$

Ответ: 9

Источник: ФИПИ