Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная равнобедренная трапеция с основаниями $BC$ и $AD$. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к нижнему основанию $AD$. По условию задачи высота делит основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что точка $H$ лежит ближе к вершине $D$, следовательно, отрезок $HD$ — меньший, а отрезок $AH$ — больший. Таким образом, $HD = 8$, а $AH = 15$.

2) Проведём вторую высоту $BK$ из вершины $B$ к основанию $AD$. Так как трапеция равнобедренная ($AB = CD$), прямоугольные треугольники $ABK$ и $DCH$ равны по гипотенузе и катету (высоты трапеции равны: $BK = CH$).

3) Из равенства треугольников следует, что их соответствующие катеты на основании равны: $AK = HD = 8$.

4) Теперь рассмотрим отрезок $AH$. Он состоит из суммы двух отрезков: $AK$ и $KH$. То есть $AH = AK + KH$. Подставим известные значения:
$15 = 8 + KH$, откуда $KH = 15 - 8 = 7$.

5) Четырёхугольник $KBCH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel KH$ и $BK \perp AD$, $CH \perp AD$). У прямоугольника противоположные стороны равны, значит, искомое основание $BC$ равно отрезку $KH$:
$BC = KH = 7$.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ