Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. На рисунке изображён квадрат, вписанный в окружность. По свойству описанной окружности около квадрата, её центр совпадает с точкой пересечения диагоналей квадрата, а диаметр этой окружности равен диагонали квадрата.

2. Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — его диагональ. По условию задачи сторона квадрата $a = 38 \sqrt{2}$.

3. Найдём диагональ квадрата $d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и его диагональю. По теореме Пифагора:
$d^2 = a^2 + a^2$
$d^2 = 2a^2$
Отсюда диагональ квадрата равна: $d = a \sqrt{2}$.

4. Подставим известное значение стороны $a$ в формулу диагонали:
$d = 38 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$
Так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, получаем:
$d = 38 \cdot 2 = 76$.

5. Радиус $R$ описанной окружности равен половине её диаметра (то есть половине диагонали квадрата):
$R = \frac{d}{2}$
$R = \frac{76}{2} = 38$.

Ответ: 38

Источник: ФИПИ