Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим трапецию с основаниями $a = 2$ и $b = 9$. Пусть средняя линия трапеции пересекается с её диагональю.

1) Средняя линия трапеции по определению соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Когда мы проводим диагональ, она разбивает трапецию на два треугольника. Средняя линия трапеции при этом разбивается на два отрезка, каждый из которых является средней линией одного из этих треугольников.

2) Рассмотрим первый треугольник, основанием которого является меньшее основание трапеции $a = 2$. Отрезок средней линии трапеции, лежащий в этом треугольнике, является его средней линией. По свойству средней линии треугольника, она равна половине основания:
$m_1 = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

3) Рассмотрим второй треугольник, основанием которого является большее основание трапеции $b = 9$. Отрезок средней линии трапеции, лежащий в этом треугольнике, также является его средней линией. Он равен половине этого основания:
$m_2 = \frac{b}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$.

4) Нам необходимо найти больший из этих отрезков. Сравнивая полученные значения $1$ и $4{,}5$, видим, что большим является $4{,}5$.

Ответ: 4,5

Источник: ФИПИ