Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Для начала вспомним связь между стороной квадрата и радиусом вписанной в него окружности. На рисунке видно, что окружность касается всех сторон квадрата. Это означает, что диаметр окружности равен стороне квадрата. Пусть $a$ — сторона квадрата, а $r$ — радиус вписанной окружности. Тогда: $a = 2r$.

2) Подставим известное значение радиуса $r = 4\sqrt{2}$ в формулу для нахождения стороны: $a = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

3) Теперь найдём диагональ квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и его диагональю $d$. По теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Отсюда диагональ квадрата выражается через его сторону как: $d = a\sqrt{2}$.

4) Подставим найденное значение стороны $a = 8\sqrt{2}$ в формулу диагонали: $d = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, получаем: $d = 8 \cdot 2 = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ