Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию, изображённую на рисунке. Нам даны: меньшее основание $b = 3$, высота $h = 5$ и угол при большем основании $\alpha = 45^\circ$.

1) Проведём вторую высоту из другой вершины верхнего основания к нижнему основанию. Эти две высоты отсекают от нижнего основания прямоугольник (в центре) и два равных прямоугольных треугольника (по бокам), так как трапеция равнобедренная.

2) Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. В нём один из острых углов равен $45^\circ$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

3) Следовательно, этот треугольник является равнобедренным. Это значит, что катет, лежащий на нижнем основании (назовём его проекцией боковой стороны), равен высоте трапеции: $x = h = 5$.

4) Так как трапеция равнобедренная, второй такой же треугольник с другой стороны даст нам точно такой же отрезок на нижнем основании, равный $5$.

5) Большее основание трапеции $a$ складывается из двух таких отрезков и центральной части, которая равна меньшему основанию $b = 3$:
$a = 5 + 3 + 5 = 13$.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ