Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

1. По условию задачи количество мест в рядах амфитеатра увеличивается на одно и то же число. Это означает, что последовательность количества мест в рядах является арифметической прогрессией.

2. Обозначим количество мест в $n$-м ряду как $a_n$, а разность прогрессии (на сколько мест в каждом следующем ряду больше, чем в предыдущем) как $d$.

3. Нам известны данные для шестого и восьмого рядов:
$a_6 = 26$
$a_8 = 30$

4. Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для шестого и восьмого рядов:
$a_6 = a_1 + 5d = 26$
$a_8 = a_1 + 7d = 30$

5. Найдем разность прогрессии $d$. Для этого вычтем из уравнения для восьмого ряда уравнение для шестого ряда:
$(a_1 + 7d) - (a_1 + 5d) = 30 - 26$
$2d = 4$
$d = 2$.
Значит, в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем.

6. Теперь найдем количество мест в первом ряду ($a_1$), подставив $d = 2$ в уравнение для шестого ряда:
$a_1 + 5 \cdot 2 = 26$
$a_1 + 10 = 26$
$a_1 = 16$.

7. В амфитеатре всего 18 рядов. Чтобы найти количество мест в последнем ряду, нужно вычислить $a_{18}$:
$a_{18} = a_1 + (18 - 1) \cdot d$
$a_{18} = 16 + 17 \cdot 2$
$a_{18} = 16 + 34$
$a_{18} = 50$.

Ответ: 50

Источник: ФИПИ