Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала упростим выражение под знаком корня. Заметим, что выражение $a^{2} + 8ab + 16b^{2}$ представляет собой квадрат суммы.
Вспомним формулу сокращённого умножения: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$.
В нашем случае:
— первый член это $a^{2}$, то есть $x = a$;
— последний член это $16b^{2}$, что можно записать как $(4b)^{2}$, то есть $y = 4b$;
— средний член $8ab$ как раз равен удвоенному произведению $2 \cdot a \cdot 4b$.
Следовательно: $a^{2} + 8ab + 16b^{2} = (a + 4b)^{2}$.

2. Подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{a^{2} + 8ab + 16b^{2}} = \sqrt{(a + 4b)^{2}}$.
По свойству корня $\sqrt{x^{2}} = |x|$, наше выражение равно $|a + 4b|$.

3. Теперь подставим значения переменных $a = 3 \frac{2}{3}$ и $b = \frac{1}{3}$ в полученное выражение.
Сначала вычислим сумму внутри модуля:
$a + 4b = 3 \frac{2}{3} + 4 \cdot \frac{1}{3}$.
Переведём смешанное число в неправильную дробь: $3 \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$.
Выполним умножение: $4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Сложим дроби: $\frac{11}{3} + \frac{4}{3} = \frac{11 + 4}{3} = \frac{15}{3}$.

4. Сократим дробь: $\frac{15}{3} = 5$.
Так как число 5 положительное, то $|5| = 5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ