Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

По условию задачи количество мест в рядах амфитеатра увеличивается на одно и то же число. Это означает, что последовательность количества мест в рядах является арифметической прогрессией.

Обозначим через $a_n$ количество мест в $n$-м ряду, а через $d$ — разность этой прогрессии (то есть число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду).

Нам известны данные для третьего и седьмого рядов:
$a_3 = 25$
$a_7 = 37$

1) Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для известных нам членов:
$a_3 = a_1 + 2d = 25$
$a_7 = a_1 + 6d = 37$

2) Чтобы найти разность $d$, вычтем из второго уравнения первое:
$(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 37 - 25$
$4d = 12$
$d = 12 : 4$
$d = 3$
Значит, в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем.

3) Теперь найдем количество мест в первом ряду ($a_1$), подставив значение $d$ в уравнение для $a_3$:
$a_1 + 2 \cdot 3 = 25$
$a_1 + 6 = 25$
$a_1 = 25 - 6$
$a_1 = 19$

4) В амфитеатре всего 19 рядов. Чтобы найти количество мест в последнем ряду, нам нужно вычислить девятнадцатый член прогрессии ($a_{19}$):
$a_{19} = a_1 + (19 - 1) \cdot d$
$a_{19} = 19 + 18 \cdot 3$
$a_{19} = 19 + 54$
$a_{19} = 73$

Ответ: 73

Источник: ФИПИ