Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Пусть точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам прямоугольника диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что отрезки, соединяющие центр с вершинами, равны между собой.

2) Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника и половинами диагоналей. Так как половины диагоналей равны, этот треугольник является равнобедренным. Однако нам дан угол между диагональю и стороной, равный $61^\circ$. Пусть это будет угол между диагональю и большей стороной прямоугольника.

3) Тогда в прямоугольном треугольнике (образованном двумя сторонами и диагональю) второй острый угол будет равен:
$90^\circ - 61^\circ = 29^\circ$.
Этот угол в $29^\circ$ является углом между диагональю и другой (меньшей) стороной прямоугольника.

4) Рассмотрим равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются половины диагоналей, а основанием — меньшая сторона прямоугольника. Углы при основании этого треугольника равны по $29^\circ$. Тогда угол при вершине (угол между диагоналями) равен:
$180^\circ - (29^\circ + 29^\circ) = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$.

5) Мы получили один из углов между диагоналями — $122^\circ$. Этот угол является тупым. Смежный с ним угол также является углом между диагоналями и находится как:
$180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$.

6) По условию задачи нам необходимо найти острый угол. Сравнивая $122^\circ$ и $58^\circ$, выбираем меньшее значение.

Ответ: 58

Источник: ФИПИ