Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника и формулой связи его стороны с радиусом описанной окружности.

1. Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около него. По условию задачи сторона треугольника $a = 2 \sqrt{3}$.

2. Вспомним формулу, которая связывает сторону правильного треугольника и радиус описанной окружности:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

3. Подставим известное значение стороны $a$ в эту формулу:
$R = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

4. Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$R = 2$

Альтернативный способ (через теорему синусов):
Согласно теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности:
$\frac{a}{\sin(60^{\circ})} = 2R$
Так как в равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$, а $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$2R = \frac{2 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4$
Отсюда $R = 4 : 2 = 2$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ