Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала внимательно посмотрим на выражение под корнем: $a^{2} + 8ab + 16b^{2}$. Заметим, что оно представляет собой формулу квадрата суммы: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$.

2. Преобразуем подкоренное выражение, выделив полные квадраты:
— Первое слагаемое — это $a^{2}$.
— Третье слагаемое $16b^{2}$ можно представить как $(4b)^{2}$.
— Второе слагаемое $8ab$ проверим на соответствие удвоенному произведению: $2 \cdot a \cdot 4b = 8ab$.
Следовательно, $a^{2} + 8ab + 16b^{2} = (a + 4b)^{2}$.

3. Теперь наше исходное выражение принимает вид: $\sqrt{(a + 4b)^{2}}$.
Вспомним важное свойство корня: $\sqrt{x^{2}} = |x|$ (корень из квадрата числа равен модулю этого числа).
Значит, $\sqrt{(a + 4b)^{2}} = |a + 4b|$.

4. Подставим в полученное выражение значения переменных $a = 3$ и $b = -4$:
$|3 + 4 \cdot (-4)| = |3 - 16| = |-13|$.

5. Так как модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, получаем:
$|-13| = 13$.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ