Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и углов, опирающихся на диаметр окружности.

1) Рассмотрим треугольник $ANB$. По условию $AB$ является диаметром окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle ANB = 90^\circ$.

2) Теперь найдём величину угла $NAB$ в треугольнике $ANB$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Нам известны два угла: $\angle ANB = 90^\circ$ и $\angle NBA = 32^\circ$. Тогда:
$\angle NAB = 180^\circ - (\angle ANB + \angle NBA) = 180^\circ - (90^\circ + 32^\circ) = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$.

3) Заметим, что углы $NAB$ и $NMB$ являются вписанными углами одной и той же окружности. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $NB$.

4) По свойству вписанных углов: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Значит:
$\angle NMB = \angle NAB = 58^\circ$.

Таким образом, искомый угол $NMB$ равен $58^\circ$.

Ответ: 58

Источник: ФИПИ