Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная равнобедренная трапеция с основаниями $BC$ и $AD$. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к нижнему основанию $AD$. По условию задачи высота делит основание $AD$ на два отрезка. Глядя на чертёж, мы видим, что отрезок $AH$ больше отрезка $HD$. Следовательно, $AH = 19$, а $HD = 17$.

2) Проведём вторую высоту $BK$ из вершины $B$ к основанию $AD$. Так как трапеция равнобедренная ($AB = CD$), прямоугольные треугольники $ABK$ и $DCH$ равны по гипотенузе и катету ($AB = CD$, $BK = CH$). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AK = HD = 17$.

3) Рассмотрим отрезок $AH$. Он состоит из двух частей: $AK$ и $KH$. Мы можем найти длину отрезка $KH$:
$KH = AH - AK = 19 - 17 = 2$.

4) Четырёхугольник $KBCH$ является прямоугольником, так как $BC \parallel KH$ (основания трапеции параллельны) и $BK \perp AD$, $CH \perp AD$ (высоты перпендикулярны основанию). В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит:
$BC = KH = 2$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ