Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим условие задачи. Нам дана трапеция, в которую вписана окружность. По определению вписанной окружности, она касается всех четырёх сторон трапеции: нижнего основания, верхнего основания и двух боковых сторон.

2. Вспомним свойство касательных к окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поскольку основания трапеции параллельны друг другу, окружность касается их в точках, лежащих на одной прямой, которая перпендикулярна обоим основаниям.

3. Отрезок, соединяющий точки касания на верхнем и нижнем основаниях и проходящий через центр окружности, является диаметром этой окружности. В то же время, этот отрезок перпендикулярен основаниям, а значит, его длина в точности равна высоте трапеции $h$.

4. Таким образом, высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности $d$. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса $r$:
$h = d = 2 \cdot r$

5. Подставим известное значение радиуса $r = 48$ в формулу:
$h = 2 \cdot 48 = 96$

Ответ: 96

Источник: ФИПИ