Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Пусть точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Нам известно, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что отрезки, соединяющие центр с вершинами, равны между собой.

2) Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника и половинами диагоналей. Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны — это половины равных диагоналей.

3) По условию задачи диагональ образует с одной из сторон угол $63^{\circ}$. Пусть это будет угол между диагональю и большей стороной прямоугольника. Тогда в прямоугольном треугольнике (образованном двумя сторонами и диагональю) второй острый угол будет равен:
$90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ}$.
Этот угол в $27^{\circ}$ является углом при основании равнобедренного треугольника, боковыми сторонами которого являются половины диагоналей.

4) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, оба угла при основании равны $27^{\circ}$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Найдём угол при вершине этого треугольника (это и будет один из углов между диагоналями):
$180^{\circ} - (27^{\circ} + 27^{\circ}) = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ}$.

5) Мы получили один из углов между диагоналями — $126^{\circ}$. Этот угол является тупым. Смежный с ним угол также является углом между диагоналями и находится как:
$180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ}$.

6) Так как в задаче требуется найти острый угол между диагоналями, выбираем меньшее значение.

Ответ: 54

Источник: ФИПИ