Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи нам необходимо найти высоту трапеции, так как основания уже известны. Обозначим трапецию как $ABCD$, где $BC = 2$ — меньшее основание, $AD = 6$ — большее основание, а угол при основании $\angle A = 45^\circ$.

1. Проведём высоты.
Опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. Так как трапеция равнобедренная, высоты отсекают на большем основании равные отрезки: $AH = KD$. Фигура $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 2$.

2. Найдём длину отрезка $AH$.
Отрезок $AH$ можно вычислить по формуле для равнобедренной трапеции:
$AH = \frac{AD - BC}{2}$
Подставим значения: $AH = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

3. Найдём высоту трапеции $BH$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нём угол $\angle AHB = 90^\circ$, а угол $\angle A = 45^\circ$. Следовательно, второй острый угол $\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Так как углы при основании треугольника $ABH$ равны, этот треугольник является равнобедренным. Значит, высота $BH$ равна отрезку $AH$:
$BH = AH = 2$.

4. Вычислим площадь трапеции.
Площадь трапеции $S$ находится как произведение полусуммы оснований на высоту:
$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH$
Подставим известные величины:
$S = \frac{6 + 2}{2} \cdot 2 = \frac{8}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ