Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Пусть точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Нам известно, что в прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что отрезки, соединяющие центр с вершинами, равны между собой.

2) Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника и половинами диагоналей. Так как половины диагоналей равны, этот треугольник является равнобедренным. Углы при его основании — это углы между диагоналями и сторонами прямоугольника.

3) По условию, диагональ образует с одной из сторон угол $47^\circ$. В прямоугольном треугольнике (образованном двумя сторонами и диагональю) второй острый угол будет равен:
$90^\circ - 47^\circ = 43^\circ$.
Таким образом, диагонали образуют со сторонами углы $47^\circ$ и $43^\circ$.

4) Угол между диагоналями является либо углом при вершине равнобедренного треугольника с углами при основании по $47^\circ$, либо углом при вершине равнобедренного треугольника с углами при основании по $43^\circ$.

5) Вычислим эти углы:
Первый возможный угол: $180^\circ - (47^\circ + 47^\circ) = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ$.
Второй возможный угол (смежный с ним): $180^\circ - (43^\circ + 43^\circ) = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ$.

6) В задаче требуется найти острый угол между диагоналями. Сравнивая полученные значения $86^\circ$ и $94^\circ$, видим, что острым является угол $86^\circ$.

Ответ: 86

Источник: ФИПИ