Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся важным свойством четырехугольника, вписанного в окружность.

1. Согласно теореме о вписанном четырёхугольнике, сумма противоположных углов такого четырёхугольника равна $180^\circ$. Трапеция $ABCD$ является вписанным четырёхугольником, так как все её вершины лежат на окружности.

2. Противоположными углами в данной трапеции являются пары углов $A$ и $C$, а также $B$ и $D$. Следовательно, сумма углов $A$ и $C$ должна составлять $180^\circ$:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$.

3. По условию задачи нам известно, что угол $A = 111^\circ$. Подставим это значение в наше уравнение:
$111^\circ + \angle C = 180^\circ$.

4. Теперь найдём величину угла $C$, вычтя из $180^\circ$ известный угол $A$:
$\angle C = 180^\circ - 111^\circ$;
$\angle C = 69^\circ$.

Стоит отметить, что любая трапеция, вписанная в окружность, обязательно является равнобедренной, но для нахождения противоположного угла нам достаточно общего свойства вписанного четырёхугольника.

Ответ: 69

Источник: ФИПИ