Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) По условию задачи центр описанной окружности лежит на стороне $A B$. Это означает, что сторона $A B$ является диаметром данной окружности.

2) Вспомним важное свойство: вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Так как угол $C$ (или $\angle ACB$) опирается на диаметр $A B$, то $\angle ACB = 90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AB$.

3) Найдём длину гипотенузы $AB$. Поскольку радиус окружности $R = 10$, а диаметр равен двум радиусам, получаем:
$AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 10 = 20$.

4) Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $ABC$: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$AC^2 + BC^2 = AB^2$.

5) Подставим известные значения ($AC = 16$, $AB = 20$) в формулу:
$16^2 + BC^2 = 20^2$
$256 + BC^2 = 400$.

6) Выразим и найдём $BC^2$:
$BC^2 = 400 - 256$
$BC^2 = 144$.

7) Извлечём корень из полученного числа:
$BC = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ