Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть дана трапеция с основаниями $a = 3$ и $b = 11$. Проведена средняя линия и одна из диагоналей. Диагональ пересекает среднюю линию, разбивая её на два отрезка.

1. Вспомним определение средней линии трапеции: она параллельна основаниям и проходит через середины боковых сторон. Следовательно, точка пересечения диагонали и средней линии также является серединой этой диагонали (по теореме Фалеса).

2. Рассмотрим треугольник, образованный бóльшим основанием трапеции и её боковыми сторонами, в котором диагональ является одной из сторон. Отрезок средней линии, лежащий в этом треугольнике, соединяет середину боковой стороны трапеции и середину диагонали. Значит, этот отрезок является средней линией треугольника.

3. По свойству средней линии треугольника, она параллельна основанию треугольника и равна его половине. В нашем случае основанием треугольника служит бóльшее основание трапеции $b = 11$. Вычислим длину этого отрезка:
$m_1 = \frac{11}{2} = 5,5$.

4. Аналогично рассмотрим второй треугольник, основанием которого является меньшее основание трапеции $a = 3$. Отрезок средней линии в этом треугольнике равен:
$m_2 = \frac{3}{2} = 1,5$.

5. Нам необходимо найти больший из этих отрезков. Сравнивая $5,5$ и $1,5$, видим, что бóльшим является $5,5$.

Ответ: 5,5

Источник: ФИПИ