Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Пусть дана трапеция $ABCD$, где основания $BC = 1$ и $AD = 11$. Проведена средняя линия $MN$, которая пересекает диагональ $AC$ в точке $K$.

2. По определению средней линии трапеции, точки $M$ и $N$ являются серединами боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Средняя линия $MN$ параллельна основаниям $BC$ и $AD$.

3. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MK$ лежит на средней линии трапеции, значит, $MK \parallel BC$. Так как $M$ — середина стороны $AB$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) точка $K$ является серединой диагонали $AC$. Следовательно, $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$.
По свойству средней линии треугольника: $MK = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $KN$ также лежит на средней линии трапеции, поэтому $KN \parallel AD$. Поскольку $N$ — середина $CD$, а $K$ — середина $AC$, отрезок $KN$ является средней линией треугольника $ACD$.
По свойству средней линии треугольника: $KN = \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 11 = 5,5$.

5. Диагональ разделила среднюю линию на два отрезка: $MK = 0,5$ и $KN = 5,5$. Нам необходимо найти больший из них. Очевидно, что $5,5 > 0,5$.

Ответ: 5,5

Источник: ФИПИ