Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами квадратного корня и степеней. Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{\frac{1}{25} \cdot x^{4} y^{8}}$ при заданных значениях переменных.

Шаг 1. Упростим выражение под корнем.
Вспомним свойство корня из произведения: корень из произведения нескольких множителей равен произведению корней из этих множителей (если они неотрицательны).
$\sqrt{\frac{1}{25} \cdot x^{4} y^{8}} = \sqrt{\frac{1}{25}} \cdot \sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{y^{8}}$

Шаг 2. Извлечем корни из каждого множителя.
1) $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$, так как $(\frac{1}{5})^{2} = \frac{1}{25}$.
2) Чтобы извлечь корень из степени, нужно показатель степени разделить на 2: $\sqrt{x^{4}} = x^{4:2} = x^{2}$.
3) Аналогично для $y$: $\sqrt{y^{8}} = y^{8:2} = y^{4}$.
Таким образом, наше выражение приняло вид: $\frac{1}{5} \cdot x^{2} \cdot y^{4}$.

Шаг 3. Подставим числовые значения $x = 5$ и $y = 2$.
Подставляем числа в упрощенное выражение:
$\frac{1}{5} \cdot 5^{2} \cdot 2^{4}$

Шаг 4. Выполним вычисления.
1) Возведем числа в степени: $5^{2} = 25$ и $2^{4} = 16$.
2) Подставим результаты: $\frac{1}{5} \cdot 25 \cdot 16$.
3) Сократим дробь: $\frac{25}{5} = 5$.
4) Перемножим оставшиеся числа: $5 \cdot 16 = 80$.

Ответ: 80

Источник: ФИПИ