Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Проанализируем условие задачи. Нам дан треугольник $A B C$, вписанный в окружность. По условию центр этой окружности лежит на стороне $A B$. Это означает, что сторона $A B$ является диаметром данной окружности.

2. Вспомним важное свойство вписанных углов: вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Так как $A B$ — диаметр, то угол $C$ (или $\angle A C B$), который опирается на эту дугу, равен $90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $A B C$ — прямоугольный с гипотенузой $A B$.

3. Найдём длину гипотенузы $A B$. Нам известен радиус окружности $R = 14,5$. Поскольку диаметр в два раза больше радиуса, получаем:
$A B = 2 \cdot R = 2 \cdot 14,5 = 29$.

4. Теперь в прямоугольном треугольнике $A B C$ нам известны гипотенуза $A B = 29$ и катет $B C = 21$. Чтобы найти второй катет $A C$, воспользуемся теоремой Пифагора:
$A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$.

5. Подставим известные значения в формулу:
$A C^{2} + 21^{2} = 29^{2}$
$A C^{2} + 441 = 841$

6. Выразим и вычислим $A C^{2}$:
$A C^{2} = 841 - 441$
$A C^{2} = 400$

7. Извлечём квадратный корень:
$A C = \sqrt{400} = 20$.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ