Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

По условию задачи количество мест в рядах амфитеатра увеличивается на одно и то же число. Это означает, что числа, обозначающие количество мест в рядах, образуют арифметическую прогрессию.

Обозначим:
$a_n$ — количество мест в $n$-м ряду;
$d$ — разность арифметической прогрессии (на сколько мест в каждом следующем ряду больше, чем в предыдущем);
$n$ — номер ряда.

Нам известно:
Количество мест в третьем ряду: $a_3 = 24$;
Количество мест в шестом ряду: $a_6 = 33$;
Всего в амфитеатре $18$ рядов, значит, нужно найти количество мест в последнем ряду: $a_{18}$.

Шаг 1. Найдем разность прогрессии $d$.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Выразим шестой член через третий:
$a_6 = a_3 + (6 - 3) \cdot d$
$a_6 = a_3 + 3d$
Подставим известные значения:
$33 = 24 + 3d$
$3d = 33 - 24$
$3d = 9$
$d = 3$
Значит, в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем.

Шаг 2. Найдем количество мест в первом ряду $a_1$.
Используем значение для третьего ряда:
$a_3 = a_1 + 2d$
$24 = a_1 + 2 \cdot 3$
$24 = a_1 + 6$
$a_1 = 24 - 6$
$a_1 = 18$

Шаг 3. Вычислим количество мест в последнем (18-м) ряду.
Применим формулу $n$-го члена для $n = 18$:
$a_{18} = a_1 + (18 - 1) \cdot d$
$a_{18} = 18 + 17 \cdot 3$
$a_{18} = 18 + 51$
$a_{18} = 69$

Ответ: 69

Источник: ФИПИ