Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим геометрическую связь между квадратом и вписанной в него окружностью. На рисунке изображён квадрат, стороны которого касаются окружности. В этом случае окружность называется вписанной в квадрат, а квадрат — описанным около окружности.

2. Заметим, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Если мы проведём диаметр через центр окружности параллельно двум сторонам квадрата, то увидим, что его длина в точности совпадает с длиной стороны квадрата $a$.

3. Вспомним связь радиуса $r$ и диаметра $d$: диаметр в два раза больше радиуса. По условию задачи радиус окружности $r = 16$. Следовательно, диаметр равен:
$d = 2 \cdot r = 2 \cdot 16 = 32$.

4. Так как сторона квадрата $a$ равна диаметру окружности, получаем:
$a = 32$.

5. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$. Подставим найденное значение стороны:
$S = 32^2 = 32 \cdot 32 = 1024$.

Ответ: 1024

Источник: ФИПИ