Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

По условию задачи количество мест в рядах амфитеатра увеличивается на одно и то же число. Это означает, что последовательность количества мест в рядах является арифметической прогрессией.

Обозначим через $a_n$ количество мест в $n$-м ряду, а через $d$ — разность этой прогрессии (то есть число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду).

Нам известны данные для седьмого и девятого рядов:
$a_7 = 36$
$a_9 = 42$

Шаг 1. Найдем разность прогрессии $d$.
Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для девятого и седьмого рядов:
$a_9 = a_1 + 8d$
$a_7 = a_1 + 6d$
Вычтем из первого уравнения второе:
$a_9 - a_7 = (a_1 + 8d) - (a_1 + 6d)$
$42 - 36 = 2d$
$6 = 2d$
Отсюда $d = 3$. Значит, в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем.

Шаг 2. Найдем количество мест в последнем (15-м) ряду.
Нам нужно найти $a_{15}$. Мы можем выразить его через уже известный нам девятый ряд $a_9$:
$a_{15} = a_9 + (15 - 9) \cdot d$
$a_{15} = a_9 + 6d$
Подставим известные значения $a_9 = 42$ и $d = 3$:
$a_{15} = 42 + 6 \cdot 3$
$a_{15} = 42 + 18$
$a_{15} = 60$

Таким образом, в последнем ряду амфитеатра 60 мест.

Ответ: 60

Источник: ФИПИ