Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся важным свойством четырехугольника, вписанного в окружность.

1. Согласно теореме о вписанном четырёхугольнике, сумма противоположных углов такого четырёхугольника равна $180^\circ$. Трапеция $ABCD$ является вписанным четырёхугольником, так как все её вершины лежат на окружности.

2. Противоположными углами в данной трапеции являются пары углов $A$ и $C$, а также $B$ и $D$. Следовательно, сумма углов $A$ и $C$ должна составлять $180^\circ$:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$.

3. По условию задачи угол $A$ равен $81^\circ$. Подставим это значение в наше уравнение:
$81^\circ + \angle C = 180^\circ$.

4. Теперь найдём величину угла $C$, вычтя из $180^\circ$ известный угол $A$:
$\angle C = 180^\circ - 81^\circ$;
$\angle C = 99^\circ$.

Примечание: Стоит помнить, что в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны ($\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle C$), а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, также равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle B = 180^\circ$). Оба этих свойства приводят к тому же результату.

Ответ: 99

Источник: ФИПИ