Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

По условию задачи количество мест в рядах амфитеатра увеличивается на одно и то же число. Это означает, что последовательность количества мест в рядах является арифметической прогрессией.

Обозначим через $a_n$ количество мест в $n$-м ряду, а через $d$ — разность этой прогрессии (то есть число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду).

Нам известны следующие данные:
Количество мест в 5-м ряду: $a_5 = 25$;
Количество мест в 9-м ряду: $a_9 = 33$;
Общее количество рядов: $n = 21$.
Найти нужно количество мест в последнем (21-м) ряду: $a_{21}$.

Шаг 1. Найдем разность прогрессии $d$.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для 5-го и 9-го рядов:
$a_5 = a_1 + 4d = 25$
$a_9 = a_1 + 8d = 33$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от $a_1$:
$(a_1 + 8d) - (a_1 + 4d) = 33 - 25$
$4d = 8$
$d = 8 : 4$
$d = 2$
Значит, в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем.

Шаг 2. Найдем количество мест в 21-м ряду.
Мы можем найти $a_{21}$, зная $a_9$ и разность $d$. Для этого воспользуемся формулой связи любых двух членов прогрессии: $a_k = a_m + (k - m) \cdot d$.
Подставим наши значения ($k = 21$, $m = 9$):
$a_{21} = a_9 + (21 - 9) \cdot d$
$a_{21} = 33 + 12 \cdot 2$
$a_{21} = 33 + 24$
$a_{21} = 57$

Таким образом, в последнем ряду амфитеатра 57 мест.

Ответ: 57

Источник: ФИПИ