Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Разберёмся с положением стороны $A B$. По условию задачи центр описанной окружности лежит на стороне $A B$. Это означает, что отрезок $A B$ является диаметром этой окружности.

2) Вспомним важное свойство геометрии: вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Так как угол $C$ (или $\angle A C B$) опирается на диаметр $A B$, то $\angle A C B = 90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $A B C$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

3) Найдём длину гипотенузы $A B$. Поскольку $A B$ — диаметр, его длина равна двум радиусам окружности $R$:
$A B = 2 \cdot R = 2 \cdot 20,5 = 41$.

4) Теперь в прямоугольном треугольнике $A B C$ нам известны гипотенуза $A B = 41$ и катет $A C = 9$. Чтобы найти второй катет $B C$, воспользуемся теоремой Пифагора:
$A C^2 + B C^2 = A B^2$.

5) Подставим известные значения в формулу:
$9^2 + B C^2 = 41^2$
$81 + B C^2 = 1681$.

6) Выразим $B C^2$:
$B C^2 = 1681 - 81$
$B C^2 = 1600$.

7) Найдём $B C$, извлекая корень из полученного числа:
$B C = \sqrt{1600} = 40$.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ