Задание 16

Окружность и круг · 230 заданий

Задание №16
№16Среднее
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8 √(3). Найдите длину стороны этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 8 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона равностороннего треугольника равна 20 √(3). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 59°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 8 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 44°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 32 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 51°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Сложное
В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB = 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг

Задание №16 — Геометрия

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности
с центром в точке $O$ пересекаются под углом $72 °$ . Найдите угол $A B O$ . Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

1) Пусть касательные к окружности пересекаются в точке $C$ . По условию угол между касательными равен $72^\circ$ , то есть $\angle ACB = 72^\circ$ .

2) Вспомним важное свойство геометрии: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$ . Следовательно, $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$ .

3) Рассмотрим четырёхугольник $OACB$ . Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$ . Найдём центральный угол $AOB$ :
$\angle AOB = 360^\circ - (\angle OAC + \angle OBC + \angle ACB)$
$\angle AOB = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 72^\circ) = 360^\circ - 252^\circ = 108^\circ$ .

4) Теперь рассмотрим треугольник $AOB$ . В нём стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной окружности ( $OA = OB$ ). Значит, треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$ .

5) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OAB = \angle ABO$ .
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$ . Найдём искомый угол $ABO$ :
$\angle ABO = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2}$
$\angle ABO = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$ .

Ответ: 36

Источник: ФИПИ