Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Пусть касательные к окружности пересекаются в точке $C$. По условию угол между касательными равен $72^\circ$, то есть $\angle ACB = 72^\circ$.

2) Вспомним важное свойство геометрии: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$. Следовательно, $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$.

3) Рассмотрим четырёхугольник $OACB$. Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Найдём центральный угол $AOB$:
$\angle AOB = 360^\circ - (\angle OAC + \angle OBC + \angle ACB)$
$\angle AOB = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 72^\circ) = 360^\circ - 252^\circ = 108^\circ$.

4) Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. В нём стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной окружности ($OA = OB$). Значит, треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$.

5) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OAB = \angle ABO$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдём искомый угол $ABO$:
$\angle ABO = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2}$
$\angle ABO = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

Ответ: 36

Источник: ФИПИ