Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

1. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника через его сторону $a$:
$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.

2. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану (которая также является высотой) в отношении $2:1$, считая от вершины. Это значит, что радиус вписанной окружности $r$ составляет одну третью часть высоты треугольника:
$r = \frac{1}{3} h$.

3. Подставим формулу высоты в выражение для радиуса:
$r = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$.

4. По условию задачи сторона треугольника $a = 2 \sqrt{3}$. Подставим это значение в полученную формулу:
$r = \frac{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6}$.

5. Выполним вычисления. Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, получаем:
$r = \frac{2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ