Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. На рисунке изображён квадрат, вписанный в окружность. Вспомним важное свойство: центр окружности, описанной около квадрата, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. При этом диагональ квадрата является диаметром этой окружности.

2. Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $d$ — диагональ квадрата. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса, поэтому:
$d = 2 \cdot R$

3. Подставим известное значение радиуса $R = 28 \sqrt{2}$ в формулу:
$d = 2 \cdot 28 \sqrt{2} = 56 \sqrt{2}$

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и его диагональю. Пусть сторона квадрата равна $a$. По теореме Пифагора:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = d^2$

5. Из этого уравнения можно выразить сторону квадрата через диагональ:
$a^2 = \frac{d^2}{2}$
$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$

6. Подставим найденное значение диагонали $d = 56 \sqrt{2}$ в формулу для стороны:
$a = \frac{56 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

7. Сокращаем на $\sqrt{2}$ и получаем:
$a = 56$

Ответ: 56

Источник: ФИПИ