Задание №16 — Геометрия

Решение. Рассмотрим геометрические свойства фигуры, изображённой на рисунке. Нам дан квадрат, вписанный в окружность (или, что то же самое, окружность, описанная около квадрата).

1. Вспомним важное свойство: центром описанной около квадрата окружности является точка пересечения его диагоналей. При этом диагональ квадрата $d$ является диаметром этой окружности $D$.

2. Пусть сторона квадрата равна $a$. По условию задачи $a = 14\sqrt{2}$.
Диагональ квадрата можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
Отсюда диагональ $d = a\sqrt{2}$.

3. Подставим известное значение стороны $a$ в формулу диагонали:
$d = 14\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$.
Так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, получаем:
$d = 14 \cdot 2 = 28$.

4. Радиус описанной окружности $R$ равен половине её диаметра (который совпадает с диагональю квадрата):
$R = \frac{d}{2}$.
Подставляем найденное значение диагонали:
$R = \frac{28}{2} = 14$.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ