Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение. Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, используя свойства степеней.

1) Рассмотрим числитель выражения: $a^{21} \cdot (b^{4})^{4}$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(b^{m})^{n} = b^{m \cdot n}$.
Следовательно, $(b^{4})^{4} = b^{4 \cdot 4} = b^{16}$.
Числитель принимает вид: $a^{21} \cdot b^{16}$.

2) Рассмотрим знаменатель выражения: $(a \cdot b)^{16}$.
При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$.
Следовательно, $(a \cdot b)^{16} = a^{16} \cdot b^{16}$.

3) Запишем всё выражение целиком с учётом преобразований:
$\frac{a^{21} \cdot b^{16}}{a^{16} \cdot b^{16}}$.

4) Сократим дробь на $b^{16}$ (так как $b = \sqrt{2} \neq 0$):
$\frac{a^{21}}{a^{16}}$.

5) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$.
Получаем: $a^{21 - 16} = a^{5}$.

6) Теперь подставим значение $a = 2$ в упрощённое выражение:
$2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Заметим, что значение $b = \sqrt{2}$ в данном случае не повлияло на итоговый результат, так как переменная $b$ полностью сократилась в процессе упрощения.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ