Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала упростим выражение под знаком корня. Заметим, что выражение $a^{2} + 10ab + 25b^{2}$ представляет собой квадрат суммы. Вспомним формулу сокращённого умножения: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$.

2. В нашем случае:
— первое слагаемое — это $a^{2}$;
— последнее слагаемое — это $25b^{2} = (5b)^{2}$;
— удвоенное произведение — это $2 \cdot a \cdot 5b = 10ab$.
Следовательно, $a^{2} + 10ab + 25b^{2} = (a + 5b)^{2}$.

3. Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{a^{2} + 10ab + 25b^{2}} = \sqrt{(a + 5b)^{2}}$.

4. По свойству корня $\sqrt{x^{2}} = |x|$. Значит, наше выражение равно $|a + 5b|$.

5. Подставим значения $a = 14 \frac{6}{13}$ и $b = \frac{4}{13}$ в полученное выражение:
$a + 5b = 14 \frac{6}{13} + 5 \cdot \frac{4}{13}$.

6. Выполним умножение:
$5 \cdot \frac{4}{13} = \frac{20}{13}$.
Выделим целую часть из дроби $\frac{20}{13}$:
$\frac{20}{13} = 1 \frac{7}{13}$.

7. Сложим числа:
$14 \frac{6}{13} + 1 \frac{7}{13} = (14 + 1) + (\frac{6}{13} + \frac{7}{13}) = 15 + \frac{13}{13} = 15 + 1 = 16$.

8. Так как число $16$ положительное, то $|16| = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ