Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами квадратного корня и степеней. Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{\frac{25 x^{4}}{y^{6}}}$.

Шаг 1. Упростим выражение под корнем.
Вспомним, что корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Применим это свойство: $\sqrt{\frac{25 x^{4}}{y^{6}}} = \frac{\sqrt{25 x^{4}}}{\sqrt{y^{6}}}$.

Шаг 2. Извлечём корень из числителя и знаменателя.
Используем правило $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и тот факт, что $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$:
1) В числителе: $\sqrt{25 x^{4}} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{(x^2)^2} = 5 x^2$.
2) В знаменателе: $\sqrt{y^{6}} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$.
Таким образом, выражение принимает вид: $\frac{5 x^2}{|y^3|}$.

Шаг 3. Подставим числовые значения переменных.
По условию задачи $x = 10$ и $y = 5$. Подставим их в упрощённое выражение:
$\frac{5 \cdot 10^2}{|5^3|}$.

Шаг 4. Выполним вычисления.
1) Возведём числа в степени: $10^2 = 100$, а $5^3 = 125$.
2) Подставим результаты: $\frac{5 \cdot 100}{125}$.
3) Перемножим числа в числителе: $5 \cdot 100 = 500$.
4) Разделим числитель на знаменатель: $\frac{500}{125} = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ