Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. На рисунке изображён квадрат, вписанный в окружность. По свойству вписанного квадрата, центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Это означает, что диагональ квадрата является диаметром этой окружности.

2. Пусть сторона квадрата равна $a$, а его диагональ — $d$. По условию задачи сторона квадрата $a = 40 \sqrt{2}$.

3. Найдём диагональ квадрата $d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и его диагональю. По теореме Пифагора:
$d^2 = a^2 + a^2$
$d^2 = 2a^2$
$d = a \sqrt{2}$

4. Подставим значение стороны $a$ в формулу диагонали:
$d = 40 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$
Так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, получаем:
$d = 40 \cdot 2 = 80$

5. Радиус описанной окружности $R$ равен половине диаметра (то есть половине диагонали квадрата):
$R = \frac{d}{2}$
$R = \frac{80}{2} = 40$

Ответ: 40

Источник: ФИПИ