Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию задачи $B H$ является высотой, проведённой к стороне $A C$. Это означает, что отрезок $B H$ перпендикулярен прямой $A C$, следовательно, угол $B H A$ равен $90^\circ$.

2. Высота $B H$ разбивает исходный треугольник на два прямоугольных треугольника. Нам нужно найти угол $A B H$, который является частью прямоугольного треугольника $A B H$.

3. Вспомним важное свойство: сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Применим это свойство к треугольнику $A B H$:
$\angle B A H + \angle A H B + \angle A B H = 180^\circ$.

4. Нам известны значения двух углов в этом треугольнике:
— Угол $\angle B A H$ совпадает с углом $\angle B A C$, который по условию равен $48^\circ$.
— Угол $\angle A H B = 90^\circ$, так как $B H$ — высота.

5. Теперь найдём искомый угол $\angle A B H$, вычтя из общей суммы углов треугольника два известных угла:
$\angle A B H = 180^\circ - (\angle B A H + \angle A H B)$
$\angle A B H = 180^\circ - (48^\circ + 90^\circ)$
$\angle A B H = 180^\circ - 138^\circ$
$\angle A B H = 42^\circ$.

Также можно было воспользоваться свойством прямоугольного треугольника: сумма острых углов в нём равна $90^\circ$. Тогда:
$\angle A B H = 90^\circ - \angle B A H = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ$.

Ответ: 42

Источник: ФИПИ