Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся основными свойствами степеней. Нам нужно упростить выражение, прежде чем подставлять значения переменных.

Шаг 1. Упростим числитель. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Применим это к множителю с $b$:
$(b^3)^6 = b^{3 \cdot 6} = b^{18}$.
Теперь числитель выглядит так: $a^{22} \cdot b^{18}$.

Шаг 2. Упростим знаменатель. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$.
Применим это к знаменателю:
$(a \cdot b)^{18} = a^{18} \cdot b^{18}$.

Шаг 3. Запишем всё выражение целиком и сократим его:
$\frac{a^{22} \cdot b^{18}}{a^{18} \cdot b^{18}}$.
Мы видим, что множитель $b^{18}$ есть и в числителе, и в знаменателе. Сократим на него:
$\frac{a^{22}}{a^{18}}$.

Шаг 4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
Выполним вычитание:
$a^{22 - 18} = a^4$.

Шаг 5. Теперь, когда выражение максимально упрощено, подставим значение $a = 2$. Заметим, что значение $b = \sqrt{2}$ нам даже не понадобилось, так как переменная $b$ сократилась.
$a^4 = 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ