Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи сначала упростим алгебраическое выражение, используя свойства степеней, а затем подставим значения переменных.

1) В числителе воспользуемся правилом возведения степени в степень: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Тогда $(b^7)^2 = b^{7 \cdot 2} = b^{14}$.
Числитель примет вид: $a^{18} \cdot b^{14}$.

2) В знаменателе воспользуемся правилом возведения произведения в степень: $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$.
Тогда $(a \cdot b)^{14} = a^{14} \cdot b^{14}$.

3) Запишем всё выражение целиком и сократим его:
$\frac{a^{18} \cdot b^{14}}{a^{14} \cdot b^{14}}$
Заметим, что множитель $b^{14}$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому мы можем на него сократить (так как $b = \sqrt{3} \neq 0$).
Остаётся: $\frac{a^{18}}{a^{14}}$.

4) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
Получаем: $a^{18 - 14} = a^4$.

5) Теперь подставим значение $a = 3$ в упрощённое выражение:
$a^4 = 3^4$.
Вычислим значение: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.
Значение переменной $b$ в данном случае не повлияло на итоговый результат, так как степени с этим основанием сократились.

Ответ: 81

Источник: ФИПИ