Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим связь между радиусом вписанной окружности и стороной квадрата. На рисунке видно, что окружность касается всех сторон квадрата. Это означает, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата $a$. Так как диаметр равен двум радиусам ($2r$), получаем формулу:
$a = 2r$

2) Подставим известное значение радиуса $r = 10\sqrt{2}$ в эту формулу, чтобы найти сторону квадрата:
$a = 2 \cdot 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$

3) Теперь найдём диагональ квадрата $d$. Диагональ квадрата образует с его сторонами прямоугольный равнобедренный треугольник. По теореме Пифагора (или по известной формуле связи диагонали и стороны квадрата $d = a\sqrt{2}$):
$d = a \cdot \sqrt{2}$

4) Подставим найденное значение стороны $a = 20\sqrt{2}$ в формулу для диагонали:
$d = 20\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

5) Выполним вычисления. Так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, получаем:
$d = 20 \cdot 2 = 40$

Ответ: 40

Источник: ФИПИ