Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Пусть точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Нам известно, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что отрезки, соединяющие центр с вершинами, равны между собой.

2) Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника и половинами диагоналей. Пусть угол между диагональю и одной из сторон (например, большей) равен $50^\circ$. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами и диагональю, второй острый угол будет равен:
$90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

3) Рассмотрим равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются половины диагоналей, а основанием — меньшая сторона прямоугольника. Углы при основании этого треугольника равны $40^\circ$ (так как это углы между диагоналями и меньшей стороной прямоугольника).

4) Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине $O$ этого треугольника (это и есть один из углов между диагоналями):
$180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

5) Диагонали при пересечении образуют две пары вертикальных углов. Если один угол равен $100^\circ$, то смежный с ним угол равен:
$180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

6) По условию задачи нам необходимо найти острый угол между диагоналями. Сравнивая полученные значения $100^\circ$ и $80^\circ$, выбираем меньшее.

Ответ: 80

Источник: ФИПИ